La ciencia aristotélica y los inicios del método axiomático

Juan Camilo Espejo-Serna
Universidad de la Sabana

Plan

  1. El método deductivo-inductivo de Aristóteles
  2. Método axiomático
  3. Preguntas
  4. Para la próxima clase

El método deductivo-inductivo de Aristóteles

  1. Observación
  2. Inducción
  3. Principios generales
  4. Deducción
  5. Observación
  1. Oscurecimiento progresivo de la luna
  2. Principios inducidos
    • La luz viaja en línea recta
    • Los cuerpos opacos producen sombras
    • Dos cuerpos opacos pueden estar en una relación espacial R tal que la sombra de uno cae sobre el otro
  3. La Tierra y la luna son cuerpos opacos
  4. La Tierra y la luna estarán en la posición R en dos meses
  5. Habrá un oscurecimiento de la luna en dos meses

Inducción

Inducción por enumeración simple

  • S1 tiene corazón
  • S2 tiene corazón
  • S3 tiene corazón
  • S4 tiene corazón

    • ⋮

    por lo tanto

  • Todos los S tienen corazón

Inducción por intuición directa

"Intuición directa de aquellos principios esenciales que están ejemplificados en los Fenómenos. La inducción intuitiva es una cuestión de perspicacia. Esta es la capacidad para ver lo que es «esencial» en los datos de la experiencia sensible."

Deducción

Algunos silogismos válidos: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO, DARAPTI

  • A: Todos los H son M
  • E: Ningún H es M
  • I: Algunos H son M
  • O: Algunos H no son M

Todas las deducciones según Aristóteles deben pertenecer a una de estas formas. ¿Pueden pensar en ejemplos de deducciones con premisas o conclusión que no se ajusten a este modelo?

Condiciones para la explicación

  • Premisas verdaderas
  • Premisas autoevidentes
  • Premisas mejor conocidas que conclusión
  • Premisas son las causas de la conclusión

¿Pueden pensar en ejemplos de explicaciones
que sí se ajusten a este modelo?

¿Pueden pensar en ejemplos de explicaciones
que no se ajusten a este modelo?

Ciencia: conjunto de enunciados organizados deductivamente

Física: principios básicos (principio de no-contradición, principio de identidad, principio de tercero excluido, etc.) + principios particulares de la ciencia (el movimiento natural es movimiento en dirección a su posición natural, el vacío no es posible, etc.)

El método axiomático

Encuentren el punto medio de la puerta, la ventana, la mesa y el tablero.
Parte de lo bonito del sistema geométrico antiguo es su economía y versatilidad. Todo se puede construir con 1) una regla sin marcas y 2) un compás que se cierra súbitamente una vez se levanta del papel.

Ideal de sistematización deductiva

  1. Axiomas son verdades evidentes
  2. Los axiomas y los teoremas están relacionados deductivamente
  3. Los teoremas concuerdan con las observaciones.

Elementos de Euclides

  • definiciones, nociones comunes, postulados ("axiomas")
  • proposiciones (teoremas)

Definiciones

  • Punto
  • Línea
  • Plano
  • Ángulos: recto, obtusos y agudos
  • Línea perpendicular
  • Figuras
  • Triángulo: equilátero, rectángulo, isóceles
  • Círculo: semicírculo, radio, centro y diámetro
  • Cuadrilátero: cuadrado, rectángulo, rombo, romboide
  • Líneas paralelas

Nociones comunes

  1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
  2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
  3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
  4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

Postulados

  1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.
  2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado.
  3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Proposiciones

  1. Construir un triángulo equilátero
  2. Construir en un punto dado una recta igual a una recta dada
  3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.
  4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.
Todo teorema se debe seguir deductivamente de los axiomas.

Desafortunamente, a Euclides se la van las luces y parece hacer trampa en algunas ocasiones en las que empieza a utilizar elementos que no están dentro de sus axiomas. (Por ejemplo para probar la proposición 3.)

A finales del siglo XIX, David Hilbert propose una nueva organización de la geometría euclideana en donde sí se siga todo de los axiomas y definiciones. Para ello, propone:

  1. 6 definiciones: de punto, línea y plano, junto a tres relaciones geométricas.
  2. 20 axiomas: sobre conexión, orden, líneas paralelas, congruencia, y continuidad.

El sistema axiomático

  1. Axiomas son verdades evidentes
  2. Los axiomas y los teoremas están relacionados deductivamente
  3. Los teoremas concuerdan con las observaciones.

Preguntas

Los modelos matemáticos:
¿descripción verdadera de la naturaleza o
meros mecanismos de predicción?

Ejemplo: Un modelo de cómo se mueve el sol en el cielo y con base en eso predigo cómo se va a mover el sol cielo y así determinar cuándo va a ser de noche.

¿Qué significa entonces 'salvar las apariencias'?
¿Qué modelo (Aristotélico o Euclideano) se parece más a lo que se considera la ciencia hoy en día?

Lecturas para la próxima clase

  • Losee, J. (1976). Introducción histórica a la filosofía de la ciencia.
    España: Alianza Editorial. Páginas 53-103 (★)