Necesidad y posibilidad

Juan Camilo Espejo-Serna
Universidad de la Sabana

Plan

  1. La idea de una modalidad alética
  2. Kripke y los mundos posibles
  3. Sistema K, M, S4 y S5

La idea de una modalidad alética

  1. Es necesariamente verdadero que Felipe es Felipe
  2. Es posiblemente verdadero que todo pueda dejar de existir.
  3. Es necesariamente verdadero que Miguel no es Katherine.
  4. Es posiblemente verdadero que Alejandra es un extra-terrestre.
  5. Es necesariamente verdadero que Juan Camilo no come plutonio.
  6. Es posiblemente verdadero que Santiago viene a clase.
  7. Es posiblemente falso que un triángulo tiene cuatro lados.
  8. Es necesariamente falso que Tatiana no es Tatiana.
  9. Es posiblemente falso que Pablo es un extraterrestre.
  10. Es necesariamente falso que Jhon no tiene 6 cromosomas.
  11. Es posiblemente falso que Paula viene a clase.
¿Cuál es la diferencia entre decir 'Felipe es Felipe' y decir que 'Es necesariamente verdader que Felipe es Felipe'?
¿Cuál es la diferencia entre decir 'Es verdadero que Felipe es Felipe' y decir que 'Es necesariamente verdadero que Felipe es Felipe'?

Determinar la diferencia es determinar qué quiere decir la calificación de una verdad como una verdad necesaria.

Posibilidad: ◊

Necesidad: ◻

¬ ◊ ¬ ≡ ◻

Decir que no es posible que P no sea verdadero es equivalente a decir que P es necesariamente verdadero.

¬ ◻ ¬ ≡ ◊

Decir que no es necesario que P no sea verdadero es equivalente a decir que P es posiblemente verdadero.
Cuando hablamos de una modalidad alética hablamos de una modificación de la verdad. Hay modalidades no-aléticas donde lo que se modifica no es la verdad en términos de necesidad y posibilidad.

Kripke y los mundos posibles

¿Qué quiere decir que algo es necesariamente verdadero?

La respuesta tradicional

P es necesaria si y sólo si P es verdadera en todo mundo posible.

Mundo posible

Una de las posibles formas en que podría ser el mundo
P es necesaria si y sólo si P es verdadera en todas las formas en que podría ser el mundo.
Si una proposición es necesaria depende entonces de qué tanto puede cambiar el mundo.

¿Podrían ser las leyes de la física necesarias?

La respuesta de Kripke

P es necesaria en un mundo M1 si y sólo si P es verdadera en todo mundo M' accessible desde M1.
Kripke relativiza la noción de necesidad a la de mundos posibles particulares y a la noción de accesibilidad.
  1. Es necesariamente verdadero que Felipe es Felipe
  2. Es posiblemente verdadero que todo pueda dejar de existir.
  3. Es necesariamente verdadero que Miguel no es Katherine.
  4. Es posiblemente verdadero que Alejandra es un extra-terrestre.
  5. Es necesariamente verdadero que Juan Camilo no come plutonio.
  6. Es posiblemente verdadero que Santiago viene a clase.
  7. Es posiblemente falso que un triángulo tiene cuatro lados.
  8. Es necesariamente falso que Tatiana no es Tatiana.
  9. Es posiblemente falso que Pablo es un extraterrestre.
  10. Es necesariamente falso que Jhon no tiene 6 cromosomas.
  11. Es posiblemente falso que Paula viene a clase.
Kripke además tiene una noción técnica de 'mundo posible'. Los mundos posibles se entienden en términos de lo que se llama ahora modelos de Kripke
Un modelo está definido como por una colección de mundos posibles, con expresiones con valores de verdad en cada mundo, y relaciones de accesibilidad entre tales mundos.
Los mundos posibles no se entienden por lo general como mundos que existen en universos parelos. (Sin embargo: David Kellog Lewis). Se entienden como una noción técnica: son elementos de lo que ahora se llaman modelos de Kripke.

Sistemas K, M, S4 y S5

Hay muchos sistemas modales. K, M, S4 y S5 son tan sólo algunos de los más importantes

Axioma K: ◻(α→β)→(◻α→◻β)

Axioma M: ◻α→α

Axioma S4: ◻α → ◻◻α

Axioma S5: α → ◻♦α

Modelos de K

sin restricciones

Modelos de M

modelos con relaciones de accesibilidad reflexivas

Modelos de S4

modelos con relaciones de accesibilidad reflexivas y transitivas

Modelos de S5

modelos con relaciones de accesibilidad reflexivas, simétricas y transitivas

Próxima lectura

  • Psillos, S. (2009). 'Regularity theories.' En The Oxford Handbook of Causation. Oxford: OUP (★)