Lenguaje simbólico

Juan Camilo Espejo-Serna
Universidad de la Sabana

Plan

  1. Los elementos del lenguaje simbólico de la lógica clásica
  2. Tablas de verdad
  3. Deducción natural

Los elementos del lenguaje simbólico de la lógica clásica

Con los silogismos vimos algunas de las ventajas de un lenguaje simbólico.
Ejemplo: La validez de un silogismo BARBARA no depende de sus particularidades sino de la forma general de las proposiciones (AAA) y la figura (MP, SM, SP)
La lógica proposicional tiene como base la proposición

P

Q

R

S

En el lenguaje de la lógica proposicional, las letras que denotan proposiciones son las expresiones básicas. Para construir una expresión compuesta podemos utilizar un conectivo lógico.

Conectivos lógicos básicos

¬

negación

∧

conjunción

∨

disyunción

→

condicional

Negación

¬α

¬α

¬β

¬γ

¬δ

Conjunción

∧

α ∧ β

β ∧ β

δ ∧ γ

β ∧ α

Disyunción

∨

α ∨ β

β ∨ β

δ ∨ γ

β ∨ α

Condicional

→

α → β

β → β

δ → γ

β → α

Extra

Bicondicional

≡

α ≡ β

β≡ β

δ ≡ γ

β ≡ α

Fórmulas bien formadas

  1. Toda letra proposicional es una fórmula bien formada.
  2. Si α es una fórmula bien formada, ¬α es una fórmula bien formada
  3. Si α y β son fórmulas bien formadas, α ∨ β es una fórmula bien formada
  4. Si α y β son fórmulas bien formadas, α ∧ β es una fórmula bien formada
  5. Si α y β son fórmulas bien formadas, α → β es una fórmula bien formada
  6. Si α y β son fórmulas bien formadas, α ≡ β es una fórmula bien formada

Tablas de verdad

Negación

Si P es verdadero, ¬P es falso

Si P es falso, ¬P es verdadero

p¬p
VF
FV

Conjunción

Si α y β son ambos verdaderos,
α ∧ β es verdadero

Si bien α, β o los dos son falsos,
α ∧ β es falso

pqp∧q
VVVVV
VFVFF
FVFFV
FFFFF

Disyunción

Si α y β son ambos falsos,
α ∨ β es falso

Si bien α, β o los dos son verdaderos,
α ∨ β es verdadero

pqp∨q
VVVVV
VFVVF
FVFVV
FFFFF

Condicional

Si α es verdadera y β es falsa,
α → β es falso

En todos los demás casos,
α → β es verdadero

pqp→q
VVVVV
VFVFF
FVFVV
FFFVF

Bicondicional

Si α y β tienen el mismo valor,
α ≡ β es verdadero

Si α y β tienen valores diferentes,
α ≡ β es falso

pqp≡q
VVVVV
VFVFF
FVFFV
FFFVF

Equivalencia lógica

Equivalencia lógica

Cuando dos expresiones tienen exáctamente la misma tabla de la verdad, las expresiones son lógicamente equivalentes.

Para la próxima

  • Paez, A. (2007) Introducción a la lógica moderna. Cap 2.

Deducción natural

  1. Pruebas con ∧
  2. Pruebas con ∨ y → (y si queda tiempo con ≡)
  3. Pruebas con ¬ y con ⊥
  4. Pruebas con ¬ y con →
  5. Pruebas con ∨ (y si queda tiempo con ≡)

Pruebas con ∧

Pruebas con
∨ y →

(y si queda tiempo con ≡)

Pruebas con
¬ y ⊥

Pruebas con
¬ y →

Pruebas con ∨

(y si queda tiempo con ≡)