Geometría euclideana

Juan Camilo Espejo-Serna
Universidad de la Sabana

Plan

  1. La geometría
  2. Definiciones
  3. Nociones comunes
  4. Postulados
  5. Proposiciones
  6. El quinto postulado
  7. Actividad

La geometría

Describan tres formas de construir un triángulo con tres lados iguales
La geometría egipcia y babilonia era una disciplina principalmente al servicio de cuestiones prácticas: cómo dividir una parcela, cómo medir el área de un sólido, cómo construir un edificio, etc.
La geometría helénica se caracterizó, en parte, por ser mucho más general. Hay un interés en la geometría por la geometría.
Hay una anécdota sobre un supuesto diágolo entre Euclides y uno de sus estudiantes.

Estudiante: ¿De qué me sirve esto?¿Qué gano yo con esto?

Euclides: Esclavo, entréguele una moneda al estudiante. Así ya gana algo y podemos continuar con la geometría

Los Elementos es quizá el primer libro de texto. Es una recopilación sistematizada de la geometría helénica. Es ordenado y deductivamente claro.

Los Elementos de Euclides

Libro I

Geometría de planos básica
Hit: el teorema de pitágoras

Libro II

Geometría algebráica
Hit: razón dorada (a+b/a)

Libro III

Círculos y ángulos
Hit: teorema de Tales (círculos y tríángulos rectos)

Libro IV

Construcciones de polígonos regulares
Hit: 4, 5, 6 y 15 lados

Libro V

Teoría de razones y proporciones.
Hit: magnitudes

Libro VI

Figuras similares y proporciones geométricas
Hit: semejanzas de tríangulos

Libro VII

Teoría de números básica
Hit: números primos

Los Elementos de Euclides

Libro VIII

Progresiones geométricas en teoría de números
Hit: sequencias geométricas

Libro IX

Teoría de números avanzada
Hit: números perfectos y el infinito de los primos

Libro X

Clasificación de las magnitudes irracionales
Hit: raiz de dos

Libro XI

Geometría de sólidos básica
Hit: generalización del libro 6

Libro XII

Medición de sólidos

Libro XIII

Construcción de los sólidos platónicos

Composición de Los Elementos

Definiciones, nociones comunes, postulados y proposiciones.

Definiciones

Definiciones

  • Punto
  • Línea
  • Plano
  • Ángulos: rectos, obtusos y agudos
  • Línea perpendicular
  • Figuras
  • Triángulo: equilátero, rectángulo, isóceles
  • Círculo: semicírculo, radio, centro y diámetro
  • Cuadrilátero: cuadrado, rectángulo, rombo, romboide
  • Líneas paralelas

Nociones comunes

  1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
  2. Si a cosas iguales se le añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
  3. Si a cosas iguales se le quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
  4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

Postulados

  1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.
  2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado.
  3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Proposiciones

  1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
  2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada
  3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.
  4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.
  5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
  6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro.
Utilizando la proposición 2, prueben la proposición 3.

Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.

Utilizando todo lo que saben, prueben la proposición 4

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

¡No se puede! La "demostración" que hace euclides utiliza la noción común 4 pero no explica cómo. En la geometría euclideana que se enseña hoy en día, esta proposición se presenta como un axioma.

A finales del siglo XIX, David Hilbert propone una nueva organización de la geometría euclideana. Para solucionar los problemas que teníamos a la hora de hacer demostraciones como la de la proposición 4.
Para ello, propose 6 definiciones y 20 axiomas.
Propone 6 definiciones de punto, línea y plano, junto a tres relaciones geométricas.
Propose 20 axiomas sobre conexión, orden, líneas paralelas, congruencia, y continuidad.

El quinto postulado

Además de los problemas con las proposiciones que no parecen poder demostrarse como pretendía Euclides, hay también una fuerte discusión alrededor del quinto postulado.
Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.
Modificación de Playfair: Por un punto dado se puede dibujar exáctamente una línea paralela a otra línea dada.
¿Y qué pasa si lo eliminamos?
A finales del siglo XIX, geómetras como Bolyai, Lobachevsky y Gauss hacen el experimento de describir una geometría que acepte los primeros 4 postulados y niegue el quinto.

Actividad

Bisecar un ángulo rectilíneo dado

Para mostrar cómo se biseca un ángulo, se necesitan los teoremas que ya hemos estudiado en detalle (1,2 y 3) y los teoremas sobre igualdades en triángulo.

Igualdades en triángulos

Proposición 4

Si dos triángulos tienen dos lados iguales uno a otro e iguales los ángulos comprendidos entre las líneas iguales, también tendán una base igual a la otra, un triángulo será igual al otro y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.

Proposición 6

Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro.

Proposición 8

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales.

Bisecar un ángulo rectilíneo dado

Para mostrar cómo se biseca un ángulo, se necesitan los teoremas que ya hemos estudiado en detalle (1,2 y 3) y los teoremas sobre igualdades en triángulo.

Para la próxima semana

  • Copi : Capítulos 5 y 6.
  • Vamos a tener un taller, así que por favor lean bien y vengan preparados.