Clases y diagramas de Venn

Juan Camilo Espejo-Serna
Universidad de la Sabana

Plan

  1. Teoría intuitiva de clases
  2. Proposiciones categóricas
  3. Diagramas de Venn
  4. Existencia y el problema de las clases vacías
  5. Figuras y silogismos válidos

Teoría intuitiva de clases

Zenón

Organización intuitiva de argumentos en el lenguaje ordinario

Euclides

Organización sistemática de demostraciones geométricas

Silogística aristotélica

Organización sistemática de argumentos en el lenguaje ordinario

Clases o categorías

¿Qué es una categoría o una clase? Pensemos en un ejemplo particular.

¿Denota la palabra 'perro' una clase?

La clase de los perros es una colección que incluye a Pluto, Snoopy, Ayudante de santa, Laika y Lassie.

... pero también a todos elementos del mundo que comparten un característica específica: el ser perros.

Si hablamos de la clase PERRO estamos hablando del conjunto de todos los perros.

Ojo: No es lo mismo hablar de la clase PERRO que de un perro.

Clase: conjunto de elementos que comparten una propiedad determinada.
Ejemplos
  1. La clase de los estudiantes de lógica 1
  2. La clase de los estudiantes de primer semestre de filosofía
  3. La clase de los estudiantes de primer semestre de la universidad
  4. La clase de las personas que no se afeitan a sí mismas
  5. La clase de las personas calvas
  6. La clase de los problemas filosóficos
No siempre es fácil determinar la característica común a clase y debemos quedarnos con la comprensión intuitiva.
¿Qué característica define a cada una de las siguientes clases?
  1. La clase de los estudiantes de lógica 1
  2. La clase de los estudiantes de primer semestre de filosofía
  3. La clase de los estudiantes de primer semestre de la universidad
  4. La clase de las personas que no se afeitan a sí mismas
  5. La clase de las personas calvas
  6. La clase de los problemas filosóficos

Proposiciones categóricas

Los perros son animales

¿Qué estamos diciedo sobre la clase de los perros? ¿Qué estamos diciendo de la clase de los animales?

Algunos perros son astronautas

¿Qué estamos diciedo sobre la clase de los perros? ¿Qué estamos diciendo de la clase de los astronautas?

Los perros no son químicos farmacéutas

¿Qué estamos diciedo sobre la clase de los perros? ¿Qué estamos diciendo de la clase de los químicos farmacéutas?

Algunos perros no son mascotas

¿Qué estamos diciedo sobre la clase de los perros? ¿Qué estamos diciendo de la clase de las mascotas?

La clasificación estándar de las formas en que se pueden relacionar las clases

  1. Cuando se dice que todos los elementos de una está en la otra
  2. Cuando se dice que ningún elemento de una clase está en la otra
  3. Cuando se dice que algún elemento de una está en la otra
  4. Cuando se dice que algun elemento de una no está en la otra

¿Ejemplos?

Una proposición categórica
afirma un tipo de relación entres dos clases.

¿Ejemplo de una proposición categórica?

¿Ejemplo de una proposición que no es categórica?

A las proposiciones categóricas que establecen el mismo tipo de relación entre las clases se les asigna una misma letra para denotar que tienen la misma forma.

A: 'Todos los X son Y"

Proposición categórica universal afirmativa

E: 'Ningún X es Y"

Proposición categórica universal negativa

I: 'Algunos X son Y"

Proposición categórica particular afirmativa

O: 'Algunos X no son Y"

Proposición categórica particular negativa

Los perros son animales

Algunos perros son astronautas

Los perros no son químicos farmacéutas

Algunos perros no son mascotas

Para cada proposición, señale las clases que relaciona y a qué forma pertenece (A, E, I, O)

1. Algunos historiadores son escritores sumamente dotados cuyas obras parecen novelas de primera categoría.
2.Algunos miembros de familias acaudaladas y famosas no son personas con riqueza ni distinción.
3. Ninguna persona que no haya realizado un trabajo creativo en cuestiones de arte es un crítico responsable cuyo juicio deba considerarse.
4. Ningún atleta que haya recibido un pago por participar en algún deporte es amateur.
5. Ningún perro que carezca de pedigrí puede ser merecedor de los listones azules de los concursos oficiales patrocinados por el American Kennel Club.
6. Todos los satélites actualmente en órbita a menos de diez mil millas de altura son mecanismos delicados que cuestan muchos miles de dólares.

Diagramas de Venn

A finales del siglo XIX, John Venn formuló una forma de representar gráficamente proposiciones categóricas.
Los diagramas de Venn son formas de representar gráficamente las relaciones entre clases establecidas en las proposiciones categóricas

La representación tradicional trae problemas para algunos casos pues una misma proposición puede ser diagramada de varias maneras diferentes

Dibujen al menos dos diagramas de Venn diferentes para la siguiente proposición:
Algunos castores son guitarristas.

A: 'Todos los X son Y"

Proposición categórica universal afirmativa

El área de los conjuntos X y Y que no ha sido tachada es el área que representa las proposiciones categóricas
de forma A

E: 'Ningún X es Y"

Proposición categórica universal negativa

El área de los conjuntos X y Y que no ha sido tachada es el área que representa las proposiciones categóricas
de forma E

I: 'Algunos X son Y"

Proposición categórica particular afirmativa

El punto en la intersección de X y Y representa las proposiciones categóricas de forma I

O: 'Algunos X no son Y"

Proposición categórica particular negativa

El punto en de X representa las proposiciones categóricas de
forma O

Todos los X son Y
Ningún X es Y
Algunos X son Y
Algunos X no son Y

Representación gráfica de las proposiciones categóricas A, E, I y O.

Para cada proposición, dibuje el diagrama de Venn correspondiente.

1. Algunos historiadores son escritores sumamente dotados cuyas obras parecen novelas de primera categoría.
2.Algunos miembros de familias acaudaladas y famosas no son personas con riqueza ni distinción.
3. Ninguna persona que no haya realizado un trabajo creativo en cuestiones de arte es un crítico responsable cuyo juicio deba considerarse.
4. Ningún atleta que haya recibido un pago por participar en algún deporte es amateur.
5. Ningún perro que carezca de pedigrí puede ser merecedor de los listones azules de los concursos oficiales patrocinados por el American Kennel Club.
6. Todos los satélites actualmente en órbita a menos de diez mil millas de altura son mecanismos delicados que cuestan muchos miles de dólares.

El cuadrado de los opuestos

El cuadrado de los opuestos, en la interpretación aristotélica, establece ciertas relaciones entre proposiciones.

Encuentre la contrarias, contradictorias, subcontrarias y sub-alternas (o superalternas) de las siguientes proposiciones.

1. Algunos historiadores son escritores sumamente dotados cuyas obras parecen novelas de primera categoría.
2.Algunos miembros de familias acaudaladas y famosas no son personas con riqueza ni distinción.
3. Ninguna persona que no haya realizado un trabajo creativo en cuestiones de arte es un crítico responsable cuyo juicio deba considerarse.
4. Ningún atleta que haya recibido un pago por participar en algún deporte es amateur.
5. Ningún perro que carezca de pedigrí puede ser merecedor de los listones azules de los concursos oficiales patrocinados por el American Kennel Club.
6. Todos los satélites actualmente en órbita a menos de diez mil millas de altura son mecanismos delicados que cuestan muchos miles de dólares.

Inferencias inmediatas

El cuadrado de los opuestos
permite realizar ciertas inferencias inmediatas

Verdad

A verdadera: E es falsa; I es verdadera; O es falsa.

E verdadera: A es falsa; I es falsa; O es verdadera.

I verdadera: E es falsa; A y O son indeterminadas.

O verdadera: A es falsa; E e I son indeterminadas.

O verdadera: A es falsa; E e I son indeterminadas.

Falsedad

A falsa: O es verdadera; E e I son indeterminadas.

E falsa: I es verdadera; A y O son indeterminadas.

I falsa: A es falsa; E es verdadera; O es verdadera.

O falsa: A es verdadera; E es falsa; I es verdadera.

  1. Si P y Q son proposiciones contradictorias: Si P es verdadera, Q es falsa. Si P es falsa, Q es verdadera. (Y vice versa)
  2. Si P y Q son proposiciones contrarias: Si P es verdadera, la Q es falsa. Si P es falsa, no se puede determinar si Q es verdadera. (Y vice versa)
  3. Si P y Q son proposiciones subcontrarias: Si P es verdadera, no se puede determinar si Q es falsa. Si P es falsa, Q es verdadera. (Y vice versa
  4. Si Q es subalterna de P: Si P es verdadera, Q es verdadera. Si P es falsa, o se puede determinar si Q es falsa.
Copi advierte que hay problemas para definir las anteriores nociones en el caso de proposiciones necesariamente verdaderas y proposiciones necesiamente falsas.
Presente ejemplos de proposiciones supuestamente contradictorias, contrarias, subcontrarias o subalternas donde no se cumpla la caracterización ofrecida.

Complementos

El complemento de una clase es la clase inversa. Si todos los perros son o hembras o machos, la clase complementaria de la clase MACHOS es la clase de HEMBRAS. Más generalmente, podemos hablar de la clase P y llamar a su complemento la clase NO-P.
Con base en la noción de complemento, podemos formular ahora otras relaciones entre proposiciones.
  1. Conversión
    • Todo S es P → Algún P es S
    • Ningún S es P → Ningún P es S
    • Algún S es P → Algún P es S
  2. Obversión
    • Todo S es P → Ningún S es no-P
    • Ningún S es P → Todo S es no-P
    • Algún S es P → Algún S no es no-P
    • Algún S no es P → Algún S es no-P
  3. Contraposición
    • Todo S es P → Todo no-P es no-S
    • Ningún S es P → Algún no-P no es no-S
    • Algún S no es P → Algún no-P no es no-S

Si es verdad que, "Ningún científico es filósofo", ¿qué se puede inferir acerca de la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones? Es decir, ¿cuál puede saberse que es verdadera?, ¿cuál puede saberse que es falsa? Y ¿cuál sería indeterminada?(Ejercicio E, p. 237)

*1. Ningún no filósofo es científico.
2. Algún no filósofo no es no científico.
3. Todos ios no científicos son no filósofos.
4. Ningún científico es no filósofo.
*5. Ningún no científico es no filósofo.
6. Todos los filósofos son científicos.
7. Algunos no filósofos son científicos.
8. Todos los no filósofos son no científicos.
9- Algunos científicos no son filósofos.
*10. Ningún filósofo es no científico.

Existencia y el problema de las clases vacías

En los ejemplos que hemos utilizado hemos asumido que las clases de las que hablamos no son vacías. Es decir, que para clase hay al menos un elemento que está dentro de la clase.
¿Pueden pensar en tres ejemplos de clases vacías?

¿Podemos seguir haciendo las mismas inferencias en los casos de clases vacías?

¿Podemos seguir haciendo las mismas
inferencias en los casos de clases vacías?
Presente un ejemplo que ilustre su respuesta

  1. Contradictorias
  2. Contrarias
  3. Subcontrarias
  4. Subalternas
  5. Conversión
  6. Obversión
  7. Contraposición

Figuras y silogismos válidos

Silogismos, en su forma más sencilla, son representaciones de argumentos con dos premisas y una conclusión. Ya vismo las posibles formas que pueden tomar las premisas (A, E, I y O) ahora vamos a ver las posibles formas que pueden tomar los silogismos.

Diagramas

A
E
I
O

Figuras

Primera figura

M - P
S - M
▸ S - P

Segunda figura

P - M
S - M
▸ S - P

Tercera figura

M - P
M - S
▸ S - P

Cuarta figura

P - M
M - S
▸ S - P

Determine validez por medio de un diagrama de Venn.

  1. AEE-1
  2. IOO-1
  3. III-4
  4. AAA-1
  5. EEE-2
  6. OAO-2
  7. EIO-2
  8. OAO-3
  9. AOO-4
  10. EIO-4
  11. IAI-4
  12. EIO-1
1) M - P
     S - M
▸ S - P
2) P - M
    S - M
▸ S - P
3) M - P
    M - S
▸ S - P
4) P - M
     M - S
▸ S - P

Figuras

Primera figura

M - P
S - M
▸ S - P

Segunda figura

P - M
S - M
▸ S - P

Tercera figura

M - P
M - S
▸ S - P

Cuarta figura

P - M
M - S
▸ S - P

Silogismos válidos

BARBARA
CELARENT,
DARII,
FERIO
CAMESTRES,
CESARE,
BAROCO, FESTINO
DATISI,
DISAMIS,
FERISON,
BOCARDO
CAMENES,
DIMARIS,
FRESISON
 

Si es verdad que a) Ningún castor es pato y b) Algunos patos son pianistas, de las siguientes proposiciones ¿cuál puede saberse que es verdadera?, ¿cuál puede saberse que es falsa? Y, ¿cuál sería indeterminada? (Utilice el método que quiera para resolverlo)

  1. Algunos castores son patos
  2. Ningún pato es castor
  3. Algunos pianistas no son castores
  4. Todos los pianistas son patos
  5. Ninguna rana es castor